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User:Zumthie/mathematics

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Einige Anmerkungen und Ergänzungen zu mathematischen Artikeln

Mersenne-Primzahlen

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Die Mersenne prime ist eine Prime number, die ausschließlich mit der Binärziffer "1" geschrieben wird.
binär 11 111 11111 1111111 1111111111111 11111111111111111 1111111111111111111 1111111111111111111111111111111
potenz 22-1 23-1 25-1 27-1 213-1 217-1 219-1 231-1
dezimal 3 7 31 127 8191 131071 524287 2147483647
Die wichtigste Eigenschaft einer Mersenne-Primzahl: „Die Anzahl der Binärziffern muss eine Primzahl sein.“

Die Mersennezahl ist eine Binärzahl, die gerade aus Einsen besteht (Zahlenpalindrom). Bei Mersenne-Primzahlen (Primzahlpalindrom) ist also die Anzahl der Einsen selbst eine Primzahl.

Pythonprogramm Lucas-Lehmer-Test

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Mit dem Lucas-Lehmer-Test läßt sich sehr schnell prüfen ob eine Mersennezahl auch eine Mersenne-Primzahl ist. Mit dem hier gezeigten Pythonprogramm können Mersennezahlen überprüft werden, wobei die Berechnungen bis zur 20ten Mersenne-Primzahl jeweils nur wenige Sekunden dauern.

#!/Lucas-Lehmer-Test
print 'Lucas-Lehmer-Test (Mersenne-Zahlen)'
p = int(raw_input ('Exponent p  von 2^p-1'))
m=2**p-1
print 'm = 2 ^',p,'- 1 =',m
s=4
for i in range (2,p):
    s=(s*s-2)%m
print 'ist',
if s==0:
    print 'eine',
else:
    print 'keine',
print 'Mersenne-Primzahl'

Exponenten p (2p-1) der ersten 20 Mersenne-Primzahlen

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  1. 2
  2. 3
  3. 5
  4. 7
  5. 13
  6. 17
  7. 19
  8. 31
  9. 61
  10. 89
  11. 107
  12. 127
  13. 521
  14. 607
  15. 1279
  16. 2203
  17. 2281
  18. 3217
  19. 4253
  20. 4423

Repunits

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Es gilt übrigens für die Schreibweise von Zahlen in allen Stellenwertsystemen, dass Zahlen die nur aus Ziffern „1“ bestehen (Repunits), nur dann eine Primzahl sein können, wenn die Anzahl der Ziffern selbst auch eine Primzahl ist.

Die ersten Zahlen dieser Art, die aus diesem Grund keine Primzahlen sein können sind:

  1. 15 (1111 Basis 2)
  2. 40 (1111 Basis 3)
  3. 63 (111111 Basis 2)
  4. 85 (1111 Basis 4)
  5. 156 (1111 Basis 5)
  6. 255 (11111111 Basis 2)
  7. 259 (1111 Basis 6)
  8. 364 (111111 Basis 3)
  9. 400 (1111 Basis 7)
  10. 511 (111111111 Basis 2)

...

Umgekehrt ist jede Primzahl p>2 in dem Stellenwertsystem mit der Basis p-1 eine 2-stellige Repunit. Besonders interessant sind aber die Repunits mit mehr als 2 Stellen die Primzahlen sind. In der Folge A085104 in OEIS sind diese Art Primzahlen aufgeführt.

Repunits und Palindrome in Dreieckszahlen

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Unter den Dreieckszahlen sind besondere Palindromzahlen aufgeführt. Die n-ten Dreieckszahlen bei denen n Repunits mit einer geraden Anzahl von Stellen (vollständige Palindromzahlen) sind, scheinen vollständige palindromische Dreieckszahlen zu indizieren die eine auffällige Ziffernfolge aufweisen. Tatsächlich lassen sich n-te palindromische Dreieckszahlen in Stellenwertsystemen mit gerader Basis > 2 konstruieren.

((sequence A000217 in the OEIS)) und Liste der Dreieckszahlen

Repunit 11Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

nBasis DreieckszahlBasis ndezimal Dreieckszahldezimal
114 334 5dezimal 15dezimal
116 446 7dezimal 28dezimal
118 558 9dezimal 45dezimal
1110 6610 11dezimal 66dezimal
1112 7712 13dezimal 91dezimal
1114 8814 15dezimal 120dezimal
... ... ... ...

Repunit 1111Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

nBasis DreieckszahlBasis ndezimal Dreieckszahldezimal
11114 - 85dezimal -
11116 4155146 259dezimal 33670dezimal
11118 5166158 585dezimal 171405dezimal
111110 61771610 1111dezimal 617716dezimal
111112 71881712 1885dezimal 1777555dezimal
111114 81991814 2955dezimal 4367490dezimal
... ... ... ...

Repunit 111111Basis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

nBasis DreieckszahlBasis ndezimal Dreieckszahldezimal
1111114 - 1365dezimal -
1111116 - 9331dezimal -
1111118 51627726158 37449dezimal 701232525dezimal
11111110 617288271610 111111dezimal 6172882716dezimal
11111112 718299281712 271453dezimal 36843501331dezimal
11111114 8192AA291814 579195dezimal 167733713610dezimal
... ... ... ...

Je größer die Basis eines Stellenwertsystems gewählt wird, desto mehr palindromische Dreieckszahlen lassen sich konstruieren!


Die größten hexadezimalen palindromischen Dreieckszahlen dieser Art sind:

RepunitBasis n-te palindromische DreieckszahlBasis:

nBasis DreieckszahlBasis ndezimal Dreieckszahldezimal
111111111111hex 91A2B3C4D5EE5D4C3B2A19hex 18764998447377dezimal 176062583365039992818313753dezimal
11111111111111hex 91A2B3C4D5E6FF6E5D4C3B2A19hex 4803839602528529dezimal 11538437463410730145064930716185dezimal

Algorithmus

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Bildungsalgorithmus für die größte palindromische Dreieckszahl in einem Stellenwertsystem mit einer geradezahligen Basis > 2.

  1. Die n-te Dreieckszahl wird bestimmt durch eine Repunit zur ausgewählten Basis b mit b-2 Ziffern (Stellen).
  2. Die Anzahl der Ziffern der palindromischen Dreieckszahl ist (b-3)*2, die erste Hälfte der Palindromzahl hat somit b-3 Ziffern.
  3. Die erste Stelle der palindromischen Dreieckszahl erhält die Ziffer b/2+1.
  4. Die zweite Stelle der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhält die Ziffer 1.
  5. Die weiteren Stellen der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhalten die um 1 erhöhten Ziffern der vorvorherigen Stelle.
  6. Die zweite Hälfte der palindromischen Dreieckszahl wird dann durch Anhängen der gespiegelten Ziffernfolge gebildet.

Mehr zu Dreieckszahlen

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Zu: Alle Dreieckszahlen > 3 sich zusammengesetzte Zahlen

  • Bei allen (Dreieckszahlen > 6) - 1 handelt es sich ebenfalls um zusammengesetzte Zahlen.

Vollkommene Zahlen

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Eine Zahl ist eine Vollkommene Zahl, wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer positiven echten Teiler. Aus den Mersenne-Primzahlen lassen sich alle bekannten Vollkommenen Zahlen konstruieren. Die Verwandschaft läßt sich besonders leicht in der Binärdarstellung erkennen.
binär 110 11100 111110000 1111111000000 1111111111111000000000000 111111111111111110000000000000000 1111111111111111111000000000000000000
potenz (22-1)21 (23-1)22 (25-1)24 (27-1)26 (213-1)212 (217-1)216 (219-1)218
dezimal 6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328
Der binäre Darstellung einer Vollkomenen Zahl besteht aus der Mersenne-Primzahl, gefolgt von Ziffern „0“ mit einer um eine Stelle verringerten Anzahl.

Die Vollkommenen Zahlen gehören zu den „Freiwilligen Palindromzahlen“, denn in der Binärschreibweise kann die erforderliche Anzahl der Ziffern „0“ vor der Zahl ergänzt werden, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert.

Beispiel: 11100 = 0011100 = Freiwillige Palindromzahl

Vollkommene Zahlen (1. - 20.)

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Die ersten 20 Vollkommenen Zahlen, die nach der oben angegebenen Formel mit den Mersenne-Primzahlen gebildet wurden, lauten:

  1. 6
  2. 28
  3. 496
  4. 8128
  5. 33550336
  6. 8589869056
  7. 137438691328
  8. 2305843008139952128
  9. 2658455991569831744654692615953842176
  10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216
  11. 13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
  12. 14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128
  13. 23562723457267347065789548996709904988477547858392600710143027597506337283178622239730365539602600561360255566462503270175052892578043215543382498428777152427010394496918664028644534128033831439790236838624033171435922356643219703101720713163527487298747400647801939587165936401087419375649057918549492160555646976
  14. 141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380114104193329037690251561950568709829327164087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297446723295166658228846926807786652870188920867879451478364569313922060370695064736073572378695176473055266826253284886383715072974324463835300053138429460296575143368065570759537328128
  15. 54162526284365847412654465374391316140856490539031695784603920818387206994158534859198999921056719921919057390080263646159280013827605439746262788903057303445505827028395139475207769044924431494861729435113126280837904930462740681717960465867348720992572190569465545299629919823431031092624244463547789635441481391719816441605586788092147886677321398756661624714551726964302217554281784254817319611951659855553573937788923405146222324506715979193757372820860878214322052227584537552897476256179395176624426314480313446935085203657584798247536021172880403783048602873621259313789994900336673941503747224966984028240806042108690077670395259231894666273615212775603535764707952250173858305171028603021234896647851363949928904973292145107505979911456221519899345764984291328
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  20. 40767271711094423266286789500920409509472451956754173657558947684464681715260993357605734441071512726995067528227747339481802307406017975918463751821848507118336173625166416441051751909733833921511752076653991689253045435925355114303300112240094312492366309429025181937703076074631694330891971804062290637324463063370007444165676699382865548574698013900725344417715580901794517787294713626725247616431165717354475083506329812661542345174259067891050196093969424325393268526237129649381671501429508518532700654319135658688537822432173525578067619513381189044904675194018182193349875318307576479629202619084300084497552929130566459016664436323063518973396208264181441158994259766077215199598273505770807393645474832736784296681037040447804670653738245607704296033370069548245058222346937754342008266115596746009270472531585662215058309416971412450120373149200391305139626391147758497714062124945414219545021663761325651848979096956363445054874071200187004098334242171313866643279783121709224161095222080608666106221075196556669546036212033916214620015754946773858930331944632744676736422424630471770419404321630175578272380575860947613876452571102541656491464344575071152521057073596731123384560986412117728286743021819378916115542964437048959026512685144124956065485652281953670546881779736097894174076453897164963235414848542178185638376039787558515854327876892100291586150169593481653250617283841617035992495539326209286081463451168016943400175227907739209129141984002670216279803245614932227988255785347373220924269748847852670574748163344676257876208108900678912830541369572996543783984620215364954353893838464888672671453393130927672103268849597298792373028395452767031129100333696063046099180328138782391367566104347713165495897021159454503241952055937183814515589264894586591501363147676413662843302502175075791426238440513015405476007476498747783201892106205584698383524005031036187539925202274453467202350823213372999023061199920256689198899908817944610695281886646630824678765305845231339408011870948795735488385897157930791657525540518959449984465130248721166519809265271872913736358591494923276213116461018047328995621925367809697847697726183327599265650527446129800629718921404375627930737500435684546352140119118622625161732119556975036023320412126344181833754571377867747583783758174317957011000027824913530257131124993626863404596480086028834672069335493603141485087204213357254720762673897857837928958409382883536405344396217119883289266162616394049286804626796372654015917535645430198053751867174961912991147525380624081763689015391680510756697550659469557112900507657356152843089480485079285160832736274980123243426924630558985552020642912534528

Länge der Sehne (Kreis) mit dem Pythagoras

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Die Länge der Sehne in einem Kreis läßt sich berechnen, wenn der Radius des Kreises und der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt des Kreises bekannt ist. Der Abstand a und die halbe Sehne x bilden immer die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Radius r entspricht immer der Hypotenuse. Mit dem Satz des Pythagoras läßt sich leicht die Länge der Sehne s ermitteln.

Pythagoras:

Formel nach x umgestellt:

Sehne gleich 2x:


Besondere primitive pythagoreische Tripel

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Siehe auch: Pythagoreisches Tripel

  • Für jede ungerade Zahl >1 gilt, wenn sie als „a“ (Gegenkathete (Minor cathetus)) eines rechtwinkligen Dreiecks genommen wird, dass sich immer ein pythagoreisches Zahlentripel bilden läßt.
  • Die Ankathete (Major cathetus) „b“ ist zu bilden mit (a^2-1)/2
  • Die Hypotenuse „c“ ist zu bilden mit (a^2+1)/2
  • Es gilt also: (natürlich) a^2+b^2=c^2 und b+c=a^2 und b=c-1 und c ist ungerade und b gerade


Nach diesen Regeln erhält man folgende primitive pythagoreische Tripel.

a b c
3 4 5
5 12 13
7 24 25
9 40 41
11 60 61
13 84 85
... ... ...

Tripel mit zwei Primzahlen

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Pythagoreische Tripel mit zwei Primzahlen haben immer die oben beschriebene Form. Wobei die Seiten a und c die Primzahlen sind.

Die Tabelle dieser Tripel ist dann wie folgt:

aprime b cprime
3 4 5
5 12 13
11 60 61
19 180 181
29 420 421
59 1740 1741
... ... ...

Primzahl = a+b

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Wenn zusätzlich die Bedingung gestellt wird, dass a+b ebenfalls eine Primzahl sein soll, dann sieht die Tabelle so aus:

aprime b cprime a+b(prime)
3 4 5 7
5 12 13 17
11 60 61 71
19 180 181 191
29 420 421 449
71 2520 2521 2591
... ... ... ...

Primzahl = a+b+ größter Primfaktor (b)

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Wenn die Summe der größten Primfaktoren der Seiten (a+c+b)>prime eine Primzahl ist, dann ergibt sich folgende Tabelle:

aprime b cprime b>prime factor a+c+b>prime factor(prime)
29 420 421 7 457
199 19800 19801 11 20011
1091 595140 595141 109 596341
2711 3674760 3674761 271 3677743
3491 6093540 6093541 349 6097381
4691 11002740 11002741 67 11007499
... ... ... ... ...

Auffällig ist hier, dass viele größte Primfaktoren von b in einem besonderen Verhältnis zu a stehen. Es gibt häufig die Konstellation (a-1)/10 = b>prime factor